Fonctions quadratiques (forme générale)

Les fonctions quadratiques font partie des fonctions algébriques les plus importantes et elles doivent être bien comprises dans tout cours d'algèbre moderne au lycée. Les propriétés de leurs graphes telles que les sommets et les interceptions x et y sont explorées de manière interactive à l'aide d'une applet html5.
Vous pouvez également utiliser cette applet pour explorer la relation entre les interceptions x du graphique d'une fonction quadratique f(x) et les solutions de l'équation quadratique correspondante f(x) = 0 . L'exploration s'effectue en changeant les valeurs de 3 coefficients a , b et c inclus dans la définition de f(x) .
Une fois que vous avez terminé le présent tutoriel, vous voudrez peut-être parcourir les tutoriels sur les fonctions quadratiques , graphiquement des fonctions quadratiques et Solveur pour analyser et représenter graphiquement une fonction quadratique

A - Définition d'une fonction quadratique

Une fonction quadratique f est une fonction de la forme
f(x) = ax 2 + bx + c
où a , b et c sont des nombres réels et a différent de zéro. Le graphique de la fonction quadratique est appelé une parabole. C'est une courbe en forme de "U" qui peut s'ouvrir vers le haut ou vers le bas selon le signe du coefficient a .

Exemples de fonctions quadratiques
a) f(x) = -2x 2 + x - 1
b) f(x) = x2 + 3x + 2

Tutoriel interactif (1)
Explorez les fonctions quadratiques de manière interactive à l'aide d'une applet html5 illustrée ci-dessous ; appuyez sur le bouton "tracez" pour commencer

a =
-10+10

b =
-10+10

c =
-10+10

>

Utilisez les cases sur le panneau de gauche de la fenêtre de l'applet pour définir les coefficients a , b et c aux valeurs des exemples ci-dessus, "tracez" et observez le graphique obtenu. Notons que le graphe correspondant à la partie a) est une parabole s'ouvrant vers le bas puisque le coefficient a est négatif et le graphe correspondant à la partie b) est une parabole s'ouvrant puisque le coefficient a est positif. Vous pouvez modifier les valeurs des coefficients a, b et c et observer les graphiques obtenus.

Réponses


B - Forme standard d'une fonction quadratique et sommet

Toute fonction quadratique peut être écrite sous la forme standard
f(x) = a(x - h) 2 + k
où h et k sont donnés en termes de coefficients a , b et c .
Commençons par la fonction quadratique sous forme générale et complétons le carré pour la réécrire sous forme standard.
Fonction donnée f(x)
f(x) = a x 2 + bx + c
factoriser le coefficient a.
f(x) = a ( x 2 + (b / a) x ) + c
ajouter et soustraire (b / 2a) 2 entre parenthèses
f(x) = a ( x 2 + (b/a) x + (b/2a) 2 - (b/2a) 2 ) + c
Notez que
x 2 + (b/a) x + (b/2a) 2
peut être écrit comme
(x + (b/2a)) 2
Nous écrivons maintenant f comme suit
f(x) = a (x + (b / 2a) ) 2 - a(b / 2a) 2 + c
qui peut s'écrire
f(x) = a ( x + (b / 2a) ) 2 - (b 2 / 4a) + c
C'est la forme standard d'une fonction quadratique avec
h = - b / 2a
k = c - b 2 / 4a

Lorsque vous représentez une fonction quadratique, le graphique aura soit un point maximum soit un point minimum appelé le sommet. Les coordonnées x et y du sommet sont respectivement données par h et k.
Exemple : Ecrire la fonction quadratique f donnée par f(x) = -2 x 2 + 4 x + 1 sous forme standard et trouvez le sommet du graphe.
Solution
fonction donnée
f(x) = -2 x 2 + 4x + 1
facteur -2 sur
f(x) = -2(x 2 - 2 x) + 1
Nous divisons maintenant le coefficient de x qui est -2 par 2 et cela donne -1 .
f(x) = -2(x 2 - 2x + (-1) 2 - (-1) 2) + 1
ajouter et soustraire (-1) 2 entre parenthèses
f(x) = -2(x 2 - 2x + (-1) 2) + 2 + 1
regrouper des termes similaires et les écrire sous une forme standard
f(x) = -2(x - 1) 2 + 3

Ce qui précède donne h = 1 et k = 3 .
h et k peuvent également être trouvés en utilisant les formules pour h et k obtenues ci-dessus.
h = - b / 2a = - 4 / (2(-2)) = 1
k = c - b 2 / 4a = 1 - 4 2/(4(-2))= 3
Le sommet du graphique est à (1,3) .
Tutoriel interactif (2)
a) Revenez à la fenêtre de l'applet et définissez a sur -2 , b sur 4 et c sur 1 (valeurs utilisées dans l'exemple ci-dessus). Vérifier que le graphe s'ouvre vers le bas ( a < 0 ) et que le sommet est au point (1,3) et est un point maximum.
b) Utilisez la fenêtre de l'applet et définissez a sur 1 , b sur -2 et c sur 0 , f(x) = x 2 - 2 x . Vérifiez que le graphe s'ouvre ( a > 0 ) et que le sommet est au point (1,-1) et est un point minimum.

C - x intercepte du graphique d'une fonction quadratique


Les abscisses x du graphe d'une fonction quadratique f donnée par
f(x) = a x 2 + b x + c
sont les solutions réelles, si elles existent, de l'équation quadratique
a x 2 + b x + c = 0
L'équation ci-dessus a deux solutions réelles et donc le graphique a x intercepte lorsque le discriminant D = b2 - 4 a c est positif. Il a une solution répétée lorsque D est égal à zéro. Les solutions sont données par les formules quadratiques
x 1 = (-b + √ D)/(2 a)
et
x 2 = (-b - √ D)/(2 a)
Exemple : Trouvez les x interceptions pour le graphique de chaque fonction donnée ci-dessous
f(x) = x 2 + 2 x - 3
g(x) = -x 2 + 2 x - 1
h(x) = -2 2 + 2 x - 2
Solution
a) Pour trouver les x interceptions, on résout
x 2 + 2 x - 3 = 0
discriminant D = 2 2 - 4 (1)(-3) = 16
deux vraies solutions :
x1 = (-2 + √16) / (2 * 1) = 1
et
x2 = (-2 - √16) / (2 * 1) = -3
Le graphique de la fonction dans la partie a) a deux interceptions x aux points (1,0) et (-3,0) .
b) On résout -x 2 + 2 x - 1 = 0
discriminant D = 2 2 - 4(-1)(-1) = 0
une solution réelle répétée x1 = -b / 2a = -2 / -2 = 1
Le graphe de la fonction dans la partie b) a une interception x à (1,0) .
c) On résout -2 x 2 + 2 x - 2 = 0
discriminant D = 2 2 - 4(-2)(-2) = -12
Pas de vraies solutions pour l'équation ci-dessus
Pas d'ordonnée à l'origine pour le graphique de la fonction dans la partie c).
Tutoriel interactif (3)
1) Accédez à la fenêtre de l'applet et définissez les valeurs de a , b et c pour chacun des exemples dans les parties a , b et c ci-dessus et vérifiez le discriminant et les interceptions x des graphiques correspondants.
2) Utilisez la fenêtre de l'applet pour trouver toutes les interceptions x pour les fonctions quadratiques suivantes.
a) f(x) = x 2 + x - 2
b) g(x) = 4 x 2 + x + 1
a) h(x) = x 2 - 4 x + 4
Utilisez la méthode analytique décrite dans l'exemple ci-dessus pour trouver les interceptions x et comparer les résultats.
3) Utilisez la fenêtre de l'applet et définissez a , b et c sur des valeurs telles que b 2 - 4 a c < 0 . Combien de x -ordonnées à l'origine le graphe de f(x) a-t-il ?
4) Utilisez la fenêtre de l'applet et définissez a , b et c sur des valeurs telles que b 2 - 4 a c = 0 . Combien de x -ordonnées à l'origine le graphe de f(x) a-t-il ?
5) Utilisez la fenêtre de l'applet et définissez a , b et c sur des valeurs telles que b 2 - 4ac > 0 .
Combien de x -ordonnées à l'origine le graphe de f(x) a-t-il ?

Réponses

D - L'ordonnée à l'origine du graphe d'une fonction quadratique est donnée par f(0) = c .


L'ordonnée à l'origine du graphe d'une fonction quadratique est donnée par f(0) = c .
Exemple : Trouvez l'ordonnée à l'origine du graphique des fonctions quadratiques suivantes.
a) f(x) = x 2 + 2 x - 3
b) g(x) = 4 x 2 - x + 1
c) h(x) = -x 2 + 4 x + 4
Solution a) f(0) = -3 . Le graphe de f a une ordonnée à l'origine en (0,-3) .
b) g(0) = 1 . Le graphe de g a une ordonnée à l'origine en (0,1) .
c) h(0) = 4 . Le graphe de h a une ordonnée à l'origine en (0,4) .
Tutoriel interactif (4)
a) Utilisez la fenêtre de l'applet pour vérifier l'ordonnée à l'origine des fonctions quadratiques dans l'exemple ci-dessus.
b) Utilisez la fenêtre de l'applet pour vérifier que l'ordonnée à l'origine est au point (0,c) pour différentes valeurs de c .

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