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Exponentielle de matrice

Posté par
rJin2006 05-04-15 à 19:49

Salut,

Soit A une matrice de M_n(\mathbb{R}), soit e_1 = (1,0, \cdots , 0), et soit E = Vect(e_1, A e_1, \cdots , A^{n - 1} e_1 ) < n. Montrer que pour tout t e^{A t} \in Vect(I, A, A^2, \cdots , A^{n - 1})

Il est recommandé d'utiliser le polynôme caractéristique.

J'ai tenté d'utiliser le polynôme caractéristique de A det(A - X I_n)  qui est un polynôme de degré n, mais je n'arrive pas à aller plus loin.

Si le polynôme caractéristique de A était scindé, je pourrais utiliser la décomposition de Dunford Schwartz A = D + N avec D diagonale et N nilpotente.

Pourriez-vous me mettre sur la voie?

Merci d'avance

Posté par
luzakre : Exponentielle de matrice 05-04-15 à 20:11

Bonsoir !
Le théorème de Cayley-Hamilton dit que P(A)=0,\;P étant le polynôme caractéristique.
En écrivant P(X)=X^n+Q(X) où d°Q<n tu obtiens A^n=-Q(A) et il suffit de faire une récurrence sur q pour A^{n+q}.
Après il faut justifier que le passage à la limite ne te fait pas sortir de l'espace.

Posté par
rJin2006re : Exponentielle de matrice 06-04-15 à 19:19

Merci Luzak


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